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(组合数学笔记)Pólya计数理论_Part.8_Pólya定理的几种扩展
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发布时间:2019-03-04

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写在前面

本文介绍Pólya定理的一些扩展,包括直和、Cartes(笛卡尔)积和2-子集上的扩展。

直和上的扩展

直和

X X X p p p元集, Y Y Y q q q元集,且 X ⋂ Y = ∅ X\bigcap Y=\varnothing XY=, ( G ,   ∗ ) (G,\ \ast) (G, ) ( H ,   ∙ ) (H,\ \bullet) (H, )分别是 X X X Y Y Y上的置换群,令 Z = X ⋃ Y = △ X ⊕ Y Z=X\bigcup Y\stackrel{\triangle}{=}X\oplus Y Z=XY=XY,称集合 Z Z Z为集合 X X X与集合 Y Y Y直和.对于 ∀   σ ∈ G ,   τ ∈ H \forall\ \sigma\in G,\ \tau\in H  σG, τH,定义集合 Z Z Z上的置换 σ ⊕ τ \sigma\oplus\tau στ如下:
( σ ⊕ τ ) ( z ) = { σ ( z ) , z ∈ X τ ( z ) , z ∈ Y (\sigma\oplus\tau)(z)=\begin{cases}\sigma(z),&z\in X\\ \tau(z),&z\in Y\end{cases} (στ)(z)={ σ(z),τ(z),zXzY
显然, σ ⊕ τ \sigma\oplus\tau στ是集合 Z Z Z上的置换。若令
G ⊕ H = { σ ⊕ τ   ∣   σ ∈ G ,   τ ∈ H } , G\oplus H=\{\sigma\oplus\tau\ |\ \sigma\in G,\ \tau\in H\}, GH={ στ  σG, τH},
可得 G ⊕ H G\oplus H GH在通常的置换合成运算下形成 Z = X ⊕ Y Z=X\oplus Y Z=XY上的置换群,且对 ∀   σ ⊕ τ ,   σ ′ ⊕ τ ′ ∈ G ⊕ H \forall\ \sigma\oplus\tau,\ \sigma'\oplus\tau'\in G\oplus H  στ, στGH, G ⊕ H G\oplus H GH上的置换合成运算满足
( σ ⊕ τ ) ∘ ( σ ′ ⊕ τ ′ ) = ( σ   ∗   σ ′ ) ⊕ ( τ   ∙   τ ′ ) , (\sigma\oplus\tau)\circ(\sigma'\oplus\tau')=(\sigma\ \ast\ \sigma')\oplus(\tau\ \bullet\ \tau'), (στ)(στ)=(σ  σ)(τ  τ),
在此称群 ( G ⊕ H ,   ∘ ) (G\oplus H,\ \circ) (GH, )为群 G G G和群 H H H直和

直和的计数性质

  • ∣ G ⊕ H ∣ = ∣ G ∣ ∣ H ∣ |G\oplus H|=|G||H| GH=GH;
  • ∣ X ⊕ Y ∣ = ∣ X ∣ + ∣ Y ∣ = p + q |X\oplus Y|=|X|+|Y|=p+q XY=X+Y=p+q.

直和的循环指数

p + q p+q p+q元集 X ⊕ Y X\oplus Y XY上的置换群 G ⊕ H G\oplus H GH的循环指数为
C I G ⊕ H ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x p + q ) = C I G ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x p )   ⋅   C I H ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x q ) , \mathrm{CI}_{G\oplus H}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{p+q})=\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_p)\,\cdot\,\mathrm{CI}_H(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_q), CIGH(x1, x2, , xp+q)=CIG(x1, x2, , xp)CIH(x1, x2, , xq),
为不引起混淆,上式亦可表示为
C I G ⊕ H ( x 1 ,   ⋯   ,   x p ,   y 1 ,   ⋯   ,   y q ) = C I G ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x p ) ⋅ C I H ( y 1 ,   y 2 ,   ⋯   ,   y q ) . \mathrm{CI}_{G\oplus H}(x_1,\ \cdots,\ x_p,\ y_1,\ \cdots,\ y_{q})=\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_p)\cdot\mathrm{CI}_H(y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_q). CIGH(x1, , xp, y1, , yq)=CIG(x1, x2, , xp)CIH(y1, y2, , yq).

证明思路

由于对 ∀   σ ⊕ τ ∈ G ⊕ H \forall \,\sigma\oplus\tau\in G\oplus H στGH,根据直和的运算, σ ⊕ τ \sigma\oplus\tau στ的格式( t y p \mathrm{typ} typ)为对应项的乘积,直接根据循环指数的定义,将两部分拆分为各自对应的循环指数,即可得到直和的循环指数。

例题分析

用2种颜色对正六面体的 6 6 6个面和 8 8 8个顶点进行染色,求染色方案数 N N N, 假定正六面体的转动使之重合的方案视为同一种方案。

方法一(直和的循环指数)

由,可以得到
C I G v ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x 8 ) = 1 24 ( x 1 8 + 8 x 1 2 x 3 2 + 9 x 2 4 + 6 x 4 2 ) , C I G f ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x 6 ) = 1 24 ( x 1 6 + 3 x 1 2 x 2 2 + 6 x 1 2 x 4 + 6 x 2 3 + 8 x 3 2 ) , \begin{aligned}\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)&=\frac1{24}\left(x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right), \\ \mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_6)&=\frac1{24}\left(x_1^6+3x_1^2x_2^2+6x_1^2x_4+6x_2^3+8x_3^2\right), \end{aligned} CIGv(x1, x2, , x8)CIGf(x1, x2, , x6)=241(x18+8x12x32+9x24+6x42),=241(x16+3x12x22+6x12x4+6x23+8x32),
于是由上述定理即可得到
C I G v ⊕ G f ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x 14 ) = C I G v ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x 8 ) ⋅ C I G f ( x 1 ,   x 2 ,   ⋯   ,   x 6 ) , \mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}\oplus\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{14})=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)\cdot\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_6), CIGvGf(x1, x2, , x14)=CIGv(x1, x2, , x8)CIGf(x1, x2, , x6),
最后得到方案数 N N N
N = C I G v ⊕ G f ( 2 ,   ⋯   ,   2 ) = C I G v ( 2 ,   ⋯   ,   2 ) ⋅ C I G f ( 2 ,   ⋯   ,   2 ) = 23 × 10 = 230 \begin{aligned}N &=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}\oplus\mathcal{G}_\mathbf{f}}(2,\ \cdots,\ 2)\\ &=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(2,\ \cdots,\ 2)\cdot\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(2,\ \cdots,\ 2)\\ &=23\times10=230 \end{aligned} N=CIGvGf(2, , 2)=CIGv(2, , 2)CIGf(2, , 2)=23×10=230

方法二(将 8 8 8个顶点和 6 6 6个面作为整体进行研究)

此时直接分析 14 14 14个元素作旋转置换的情况即可,共有 5 5 5种置换,分别为

  1. 单位置换, ( 1 ) 14 (1)^{14} (1)14;
  2. 以相对的两个面的中心连线为轴旋转 ± 9 0 ∘ \pm 90^\circ ±90 6 6 6个置换, ( 1 ) 2 ( 4 ) 3 (1)^2(4)^3 (1)2(4)3;
  3. 以相对的两个面的中心连线为轴旋转 18 0 ∘ 180^\circ 180 3 3 3个置换, ( 1 ) 2 ( 2 ) 6 (1)^2(2)^6 (1)2(2)6;
  4. 以正六面体中心对称的两个棱的中心连线为轴旋转 18 0 ∘ 180^\circ 180 6 6 6个置换, ( 2 ) 7 (2)^7 (2)7;
  5. 以正六面体体对角线为轴旋转 ± 12 0 ∘ \pm 120^\circ ±120 8 8 8个置换, ( 1 ) 2 ( 3 ) 4 (1)^2(3)^4 (1)2(3)4.

此时可以得到方案数 N N N
N = 1 24 ( 2 14 + 6 ⋅ 2 5 + 3 ⋅ 2 8 + 6 ⋅ 2 7 + 8 ⋅ 2 6 ) = 776. N=\frac1{24}(2^{14}+6\cdot2^5+3\cdot2^8+6\cdot2^7+8\cdot2^6)=776. N=241(214+625+328+627+826)=776.

分析

产生两种方法所得结果不一致的原因是: 方法一利用群 G ⊕ H G\oplus H GH对染色问题进行求解,而方案二直接对群 G ‾ \overline{G} G进行分析求解,两群并不同构,所以导致方案数出现差异。

Cartes积上的扩展

Cartes积

仍按照上面对集合 X X X Y Y Y的定义,考虑集合 X X X Y Y Y以及 G G G H H H的Cartes积:
X × Y = { ( x ,   y )   ∣   x ∈ X ,   y ∈ Y } , G × H = { ( σ ,   τ )   ∣   σ ∈ G ,   τ ∈ H } , X\times Y=\{(x,\,y)\,|\,x\in X,\,y\in Y\}, \\ G\times H=\{(\sigma,\,\tau)\,|\,\sigma\in G,\,\tau\in H\}, X×Y={ (x,y)xX,yY},G×H={ (σ,τ)σG,τH},
对于 ( σ ,   τ ) ∈ G × H (\sigma,\,\tau)\in G\times H (σ,τ)G×H,按如下方式将 ( σ ,   τ ) (\sigma,\,\tau) (σ,τ)定义为集合 X × Y X\times Y X×Y到自身的一个映射:
( σ ,   τ ) ( ( x ,   y ) ) = ( σ ( x ) ,   τ ( y ) ) , ∀   ( x ,   y ) ∈ X × Y , (\sigma,\,\tau)\big((x,\,y)\big)=\big(\sigma(x),\,\tau(y)\big),\quad\forall\,(x,\,y)\in X\times Y, (σ,τ)((x,y))=(σ(x),τ(y)),(x,y)X×Y,
显然,这样定义的映射 ( σ ,   τ ) (\sigma,\,\tau) (σ,τ) X × Y X\times Y X×Y集合上的置换。

易证 G × H G\times H G×H在通常的置换合成运算" ∘ \circ "下形成的集合 X × Y X\times Y X×Y上的置换群,且 G × H G\times H G×H上的置换合成满足
( σ 1 ,   τ 1 ) ∘ ( σ 2 ,   τ 2 ) = ( σ 1 σ 2 ,   τ 1 τ 2 ) ,   ∀   ( σ 1 ,   τ 1 ) ,   ( σ 2 ,   τ 2 ) ∈ G × H (\sigma_1,\,\tau_1)\circ(\sigma_2,\,\tau_2)=(\sigma_1\sigma_2,\,\tau_1\tau_2),\ \forall\ (\sigma_1,\,\tau_1),\,(\sigma_2,\,\tau_2)\in G\times H (σ1,τ1)(σ2,τ2)=(σ1σ2,τ1τ2),  (σ1,τ1),(σ2,τ2)G×H

定理

σ ∈ G ,   τ ∈ H \sigma\in G,\,\tau\in H σG,τH, 如果 σ \sigma σ的循环分解式中有 λ k ( σ ) \lambda_k(\sigma) λk(σ)个长度为 k k k的循环, τ \tau τ的循环分解式中有 λ l ( τ ) \lambda_l(\tau) λl(τ)个长度为 l l l的循环,则 ( σ ,   τ ) (\sigma,\,\tau) (σ,τ)的循环分解式中有 gcd ⁡ ( k ,   l ) λ k ( σ ) λ l ( τ ) \gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau) gcd(k,l)λk(σ)λl(τ)个长度为 l c m ( k ,   l ) \mathrm{lcm}(k,\,l) lcm(k,l)的循环。

G × H G\times H G×H的循环指数

G G G p p p元集 X X X上的置换群, H H H q q q元集 Y Y Y上的置换群,则 p q pq pq元集 X × Y X\times Y X×Y上的置换群 G × H G\times H G×H的循环指数为
C I G × H ( x 1 , ⋯   , x p q ) = 1 ∣ G ∣ ∣ H ∣ ∑ σ ∈ G ∑ τ ∈ H [ ∏ k = 1 p ∏ l = 1 q x l c m ( k ,   l ) gcd ⁡ ( k ,   l ) λ k ( σ ) λ l ( τ ) ] . \mathrm{CI}_{G\times H}(x_1,\cdots,x_{pq})=\frac1{|G||H|}\sum_{\sigma\in G}\sum_{\tau\in H}\left[\prod_{k=1}^p\prod_{l=1}^qx_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau)}\right]. CIG×H(x1,,xpq)=GH1σGτH[k=1pl=1qxlcm(k,l)gcd(k,l)λk(σ)λl(τ)].

例题

( V ,   E ) (V,\,E) (V,E)为一个二部图,其中 V = X ⊕ Y ,   ∣ X ∣ = 3 ,   ∣ Y ∣ = 2 V=X\oplus Y,\ |X|=3,\ |Y|=2 V=XY, X=3, Y=2, 试求以 V = X ⊕ Y V=X\oplus Y V=XY作为顶点集的二部图的数目 N N N, 假定两个同构的图视为一个图。


X = { 1 , 2 , 3 } ,   Y = { 4 , 5 } X=\{1,2,3\},\ Y=\{4,5\} X={ 1,2,3}, Y={ 4,5}, 并记 X ‾ = E ( K 3 ,   2 ) = X × Y \overline{X}=E(K_{3,\,2})=X\times Y X=E(K3,2)=X×Y, 则 X ‾ \overline{X} X为染色对象集。取 G ‾ = G × H \overline{G}=G\times H G=G×H为置换群,其循环指数为
C I G ‾ ( x 1 , ⋯   , x 6 ) = 1 ∣ G ∣ ∣ H ∣ ∑ σ ∈ G ∑ τ ∈ H [ ∏ k = 1 3 ∏ l = 1 2 x l c m ( k ,   l ) gcd ⁡ ( k ,   l ) λ k ( σ ) λ l ( τ ) ] = 1 12 ( x 1 6 + 3 x 1 2 x 2 2 + 4 x 2 3 + 2 x 3 2 + 2 x 6 ) \begin{aligned} \mathrm{CI}_{\overline{G}}(x_1,\cdots,x_{6}) &=\frac1{|G||H|}\sum_{\sigma\in G}\sum_{\tau\in H}\left[\prod_{k=1}^3\prod_{l=1}^2x_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau)}\right]\\ &=\frac1{12}\big(x_1^6+3x_1^2x_2^2+4x_2^3+2x_3^2+2x_6\big) \end{aligned} CIG(x1,,x6)=GH1σGτH[k=13l=12xlcm(k,l)gcd(k,l)λk(σ)λl(τ)]=121(x16+3x12x22+4x23+2x32+2x6)
所以,以 V = X ⊕ Y V=X\oplus Y V=XY作为顶点集的二部图的数目为
∣ C ‾ X ‾ / G ‾ ∣ = C I G ‾ ( 2 , ⋯   , 2 ) = 1 12 ( 2 6 + 3 ⋅ 2 4 + 2 5 + 2 3 + 2 2 ) = 13. \begin{aligned} \left|\overline{C}^{\overline{X}}/\overline{G}\right| &=\mathrm{CI}_{\overline{G}}(2,\cdots,2)\\ &=\frac1{12}(2^6+3\cdot 2^4+2^5+2^3+2^2)=13. \end{aligned} CX/G=CIG(2,,2)=121(26+324+25+23+22)=13.

2-子集上的扩展

X X X上的置换群 G G G所导出的 X ( 2 ) X^{(2)} X(2)上的置换群 G ( 2 ) G^{(2)} G(2), 称为对群或偶群。

对群 S n ( 2 ) \mathcal{S}_n^{(2)} Sn(2)的循环指数

C I S n ( 2 ) ( x 1 , ⋯   , x ( n 2 ) ) = ∑ ( λ 1 , ⋯   , λ n ) ∈ Λ n ∏ k = 1 n 1 λ k ! k λ k ∏ k = 1 n λ ( x ,   k )   ⋅   ∏ 1 ⩽ k < l ⩽ n x l c m ( k ,   l ) λ k λ l gcd ⁡ ( k ,   l ) \mathrm{CI}_{\mathcal{S}_n^{(2)}}(x_1,\cdots,x_{\binom{n}2})=\\ \sum_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in\Lambda_n}\prod_{k=1}^n\frac{1}{\lambda_k!k^{\lambda_k}}\prod_{k=1}^n\lambda(x,\,k)\,\cdot\,\prod_{1\leqslant k<l\leqslant n}x_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\lambda_k\lambda_l\gcd(k,\,l)} CISn(2)(x1,,x(2n))=(λ1,,λn)Λnk=1nλk!kλk1k=1nλ(x,k)1k<lnxlcm(k,l)λkλlgcd(k,l)

其中
λ ( x ,   k ) = { x k k − 1 2 λ k + k ( λ k 2 ) , k 为奇数 x k 2 λ k x k ( k 2 − 1 ) λ k + ( λ k 2 ) , k 为偶数 \lambda(x,\,k) =\begin{cases} x_k^{\frac{k-1}2\lambda_k+k\binom{\lambda_k}2}, &k\text{为奇数}\\ x_{\frac k2}^{\lambda_k}x_k^{\left(\frac k2-1\right)\lambda_k+\binom{\lambda_k}2}, &k\text{为偶数} \end{cases} λ(x,k)=xk2k1λk+k(2λk),x2kλkxk(2k1)λk+(2λk),k为奇数k为偶数

根据上述定理,对群 S 3 ( 2 ) \mathcal{S}_3^{(2)} S3(2)的循环指数为
C I S 3 ( 2 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 6 ( x 1 3 + 3 x 1 x 2 + 2 x 3 ) . \mathrm{CI}_{\mathcal{S}_3^{(2)}}(x_1,x_2,x_3) =\frac16(x_1^3+3x_1x_2+2x_3). CIS3(2)(x1,x2,x3)=61(x13+3x1x2+2x3).

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