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本文介绍Pólya定理的一些扩展,包括直和、Cartes(笛卡尔)积和2-子集上的扩展。
设 X X X是 p p p元集, Y Y Y是 q q q元集,且 X ⋂ Y = ∅ X\bigcap Y=\varnothing X⋂Y=∅, ( G , ∗ ) (G,\ \ast) (G, ∗)和 ( H , ∙ ) (H,\ \bullet) (H, ∙)分别是 X X X和 Y Y Y上的置换群,令 Z = X ⋃ Y = △ X ⊕ Y Z=X\bigcup Y\stackrel{\triangle}{=}X\oplus Y Z=X⋃Y=△X⊕Y,称集合 Z Z Z为集合 X X X与集合 Y Y Y的直和.对于 ∀ σ ∈ G , τ ∈ H \forall\ \sigma\in G,\ \tau\in H ∀ σ∈G, τ∈H,定义集合 Z Z Z上的置换 σ ⊕ τ \sigma\oplus\tau σ⊕τ如下:
( σ ⊕ τ ) ( z ) = { σ ( z ) , z ∈ X τ ( z ) , z ∈ Y (\sigma\oplus\tau)(z)=\begin{cases}\sigma(z),&z\in X\\ \tau(z),&z\in Y\end{cases} (σ⊕τ)(z)={ σ(z),τ(z),z∈Xz∈Y
显然, σ ⊕ τ \sigma\oplus\tau σ⊕τ是集合 Z Z Z上的置换。若令
G ⊕ H = { σ ⊕ τ ∣ σ ∈ G , τ ∈ H } , G\oplus H=\{\sigma\oplus\tau\ |\ \sigma\in G,\ \tau\in H\}, G⊕H={ σ⊕τ ∣ σ∈G, τ∈H},
可得 G ⊕ H G\oplus H G⊕H在通常的置换合成运算下形成 Z = X ⊕ Y Z=X\oplus Y Z=X⊕Y上的置换群,且对 ∀ σ ⊕ τ , σ ′ ⊕ τ ′ ∈ G ⊕ H \forall\ \sigma\oplus\tau,\ \sigma'\oplus\tau'\in G\oplus H ∀ σ⊕τ, σ′⊕τ′∈G⊕H, G ⊕ H G\oplus H G⊕H上的置换合成运算满足
( σ ⊕ τ ) ∘ ( σ ′ ⊕ τ ′ ) = ( σ ∗ σ ′ ) ⊕ ( τ ∙ τ ′ ) , (\sigma\oplus\tau)\circ(\sigma'\oplus\tau')=(\sigma\ \ast\ \sigma')\oplus(\tau\ \bullet\ \tau'), (σ⊕τ)∘(σ′⊕τ′)=(σ ∗ σ′)⊕(τ ∙ τ′),
在此称群 ( G ⊕ H , ∘ ) (G\oplus H,\ \circ) (G⊕H, ∘)为群 G G G和群 H H H的直和。
p + q p+q p+q元集 X ⊕ Y X\oplus Y X⊕Y上的置换群 G ⊕ H G\oplus H G⊕H的循环指数为
C I G ⊕ H ( x 1 , x 2 , ⋯ , x p + q ) = C I G ( x 1 , x 2 , ⋯ , x p ) ⋅ C I H ( x 1 , x 2 , ⋯ , x q ) , \mathrm{CI}_{G\oplus H}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{p+q})=\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_p)\,\cdot\,\mathrm{CI}_H(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_q), CIG⊕H(x1, x2, ⋯, xp+q)=CIG(x1, x2, ⋯, xp)⋅CIH(x1, x2, ⋯, xq),
为不引起混淆,上式亦可表示为
C I G ⊕ H ( x 1 , ⋯ , x p , y 1 , ⋯ , y q ) = C I G ( x 1 , x 2 , ⋯ , x p ) ⋅ C I H ( y 1 , y 2 , ⋯ , y q ) . \mathrm{CI}_{G\oplus H}(x_1,\ \cdots,\ x_p,\ y_1,\ \cdots,\ y_{q})=\mathrm{CI}_G(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_p)\cdot\mathrm{CI}_H(y_1,\ y_2,\ \cdots,\ y_q). CIG⊕H(x1, ⋯, xp, y1, ⋯, yq)=CIG(x1, x2, ⋯, xp)⋅CIH(y1, y2, ⋯, yq).
由于对 ∀ σ ⊕ τ ∈ G ⊕ H \forall \,\sigma\oplus\tau\in G\oplus H ∀σ⊕τ∈G⊕H,根据直和的运算, σ ⊕ τ \sigma\oplus\tau σ⊕τ的格式( t y p \mathrm{typ} typ)为对应项的乘积,直接根据循环指数的定义,将两部分拆分为各自对应的循环指数,即可得到直和的循环指数。
用2种颜色对正六面体的 6 6 6个面和 8 8 8个顶点进行染色,求染色方案数 N N N, 假定正六面体的转动使之重合的方案视为同一种方案。
由,可以得到
C I G v ( x 1 , x 2 , ⋯ , x 8 ) = 1 24 ( x 1 8 + 8 x 1 2 x 3 2 + 9 x 2 4 + 6 x 4 2 ) , C I G f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x 6 ) = 1 24 ( x 1 6 + 3 x 1 2 x 2 2 + 6 x 1 2 x 4 + 6 x 2 3 + 8 x 3 2 ) , \begin{aligned}\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)&=\frac1{24}\left(x_1^8+8x_1^2x_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right), \\ \mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_6)&=\frac1{24}\left(x_1^6+3x_1^2x_2^2+6x_1^2x_4+6x_2^3+8x_3^2\right), \end{aligned} CIGv(x1, x2, ⋯, x8)CIGf(x1, x2, ⋯, x6)=241(x18+8x12x32+9x24+6x42),=241(x16+3x12x22+6x12x4+6x23+8x32),
于是由上述定理即可得到
C I G v ⊕ G f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x 14 ) = C I G v ( x 1 , x 2 , ⋯ , x 8 ) ⋅ C I G f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x 6 ) , \mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}\oplus\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_{14})=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_8)\cdot\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_6), CIGv⊕Gf(x1, x2, ⋯, x14)=CIGv(x1, x2, ⋯, x8)⋅CIGf(x1, x2, ⋯, x6),
最后得到方案数 N N N
N = C I G v ⊕ G f ( 2 , ⋯ , 2 ) = C I G v ( 2 , ⋯ , 2 ) ⋅ C I G f ( 2 , ⋯ , 2 ) = 23 × 10 = 230 \begin{aligned}N &=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}\oplus\mathcal{G}_\mathbf{f}}(2,\ \cdots,\ 2)\\ &=\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{v}}(2,\ \cdots,\ 2)\cdot\mathrm{CI}_{\mathcal{G}_\mathbf{f}}(2,\ \cdots,\ 2)\\ &=23\times10=230 \end{aligned} N=CIGv⊕Gf(2, ⋯, 2)=CIGv(2, ⋯, 2)⋅CIGf(2, ⋯, 2)=23×10=230
此时直接分析 14 14 14个元素作旋转置换的情况即可,共有 5 5 5种置换,分别为
此时可以得到方案数 N N N
N = 1 24 ( 2 14 + 6 ⋅ 2 5 + 3 ⋅ 2 8 + 6 ⋅ 2 7 + 8 ⋅ 2 6 ) = 776. N=\frac1{24}(2^{14}+6\cdot2^5+3\cdot2^8+6\cdot2^7+8\cdot2^6)=776. N=241(214+6⋅25+3⋅28+6⋅27+8⋅26)=776.
产生两种方法所得结果不一致的原因是: 方法一利用群 G ⊕ H G\oplus H G⊕H对染色问题进行求解,而方案二直接对群 G ‾ \overline{G} G进行分析求解,两群并不同构,所以导致方案数出现差异。
仍按照上面对集合 X X X和 Y Y Y的定义,考虑集合 X X X与 Y Y Y以及 G G G与 H H H的Cartes积:
X × Y = { ( x , y ) ∣ x ∈ X , y ∈ Y } , G × H = { ( σ , τ ) ∣ σ ∈ G , τ ∈ H } , X\times Y=\{(x,\,y)\,|\,x\in X,\,y\in Y\}, \\ G\times H=\{(\sigma,\,\tau)\,|\,\sigma\in G,\,\tau\in H\}, X×Y={ (x,y)∣x∈X,y∈Y},G×H={ (σ,τ)∣σ∈G,τ∈H},
对于 ( σ , τ ) ∈ G × H (\sigma,\,\tau)\in G\times H (σ,τ)∈G×H,按如下方式将 ( σ , τ ) (\sigma,\,\tau) (σ,τ)定义为集合 X × Y X\times Y X×Y到自身的一个映射:
( σ , τ ) ( ( x , y ) ) = ( σ ( x ) , τ ( y ) ) , ∀ ( x , y ) ∈ X × Y , (\sigma,\,\tau)\big((x,\,y)\big)=\big(\sigma(x),\,\tau(y)\big),\quad\forall\,(x,\,y)\in X\times Y, (σ,τ)((x,y))=(σ(x),τ(y)),∀(x,y)∈X×Y,
显然,这样定义的映射 ( σ , τ ) (\sigma,\,\tau) (σ,τ)是 X × Y X\times Y X×Y集合上的置换。
易证 G × H G\times H G×H在通常的置换合成运算" ∘ \circ ∘"下形成的集合 X × Y X\times Y X×Y上的置换群,且 G × H G\times H G×H上的置换合成满足
( σ 1 , τ 1 ) ∘ ( σ 2 , τ 2 ) = ( σ 1 σ 2 , τ 1 τ 2 ) , ∀ ( σ 1 , τ 1 ) , ( σ 2 , τ 2 ) ∈ G × H (\sigma_1,\,\tau_1)\circ(\sigma_2,\,\tau_2)=(\sigma_1\sigma_2,\,\tau_1\tau_2),\ \forall\ (\sigma_1,\,\tau_1),\,(\sigma_2,\,\tau_2)\in G\times H (σ1,τ1)∘(σ2,τ2)=(σ1σ2,τ1τ2), ∀ (σ1,τ1),(σ2,τ2)∈G×H
设 σ ∈ G , τ ∈ H \sigma\in G,\,\tau\in H σ∈G,τ∈H, 如果 σ \sigma σ的循环分解式中有 λ k ( σ ) \lambda_k(\sigma) λk(σ)个长度为 k k k的循环, τ \tau τ的循环分解式中有 λ l ( τ ) \lambda_l(\tau) λl(τ)个长度为 l l l的循环,则 ( σ , τ ) (\sigma,\,\tau) (σ,τ)的循环分解式中有 gcd ( k , l ) λ k ( σ ) λ l ( τ ) \gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau) gcd(k,l)λk(σ)λl(τ)个长度为 l c m ( k , l ) \mathrm{lcm}(k,\,l) lcm(k,l)的循环。
设 G G G是 p p p元集 X X X上的置换群, H H H是 q q q元集 Y Y Y上的置换群,则 p q pq pq元集 X × Y X\times Y X×Y上的置换群 G × H G\times H G×H的循环指数为
C I G × H ( x 1 , ⋯ , x p q ) = 1 ∣ G ∣ ∣ H ∣ ∑ σ ∈ G ∑ τ ∈ H [ ∏ k = 1 p ∏ l = 1 q x l c m ( k , l ) gcd ( k , l ) λ k ( σ ) λ l ( τ ) ] . \mathrm{CI}_{G\times H}(x_1,\cdots,x_{pq})=\frac1{|G||H|}\sum_{\sigma\in G}\sum_{\tau\in H}\left[\prod_{k=1}^p\prod_{l=1}^qx_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau)}\right]. CIG×H(x1,⋯,xpq)=∣G∣∣H∣1σ∈G∑τ∈H∑[k=1∏pl=1∏qxlcm(k,l)gcd(k,l)λk(σ)λl(τ)].
设 ( V , E ) (V,\,E) (V,E)为一个二部图,其中 V = X ⊕ Y , ∣ X ∣ = 3 , ∣ Y ∣ = 2 V=X\oplus Y,\ |X|=3,\ |Y|=2 V=X⊕Y, ∣X∣=3, ∣Y∣=2, 试求以 V = X ⊕ Y V=X\oplus Y V=X⊕Y作为顶点集的二部图的数目 N N N, 假定两个同构的图视为一个图。
令 X = { 1 , 2 , 3 } , Y = { 4 , 5 } X=\{1,2,3\},\ Y=\{4,5\} X={ 1,2,3}, Y={ 4,5}, 并记 X ‾ = E ( K 3 , 2 ) = X × Y \overline{X}=E(K_{3,\,2})=X\times Y X=E(K3,2)=X×Y, 则 X ‾ \overline{X} X为染色对象集。取 G ‾ = G × H \overline{G}=G\times H G=G×H为置换群,其循环指数为
C I G ‾ ( x 1 , ⋯ , x 6 ) = 1 ∣ G ∣ ∣ H ∣ ∑ σ ∈ G ∑ τ ∈ H [ ∏ k = 1 3 ∏ l = 1 2 x l c m ( k , l ) gcd ( k , l ) λ k ( σ ) λ l ( τ ) ] = 1 12 ( x 1 6 + 3 x 1 2 x 2 2 + 4 x 2 3 + 2 x 3 2 + 2 x 6 ) \begin{aligned} \mathrm{CI}_{\overline{G}}(x_1,\cdots,x_{6}) &=\frac1{|G||H|}\sum_{\sigma\in G}\sum_{\tau\in H}\left[\prod_{k=1}^3\prod_{l=1}^2x_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\gcd(k,\,l)\lambda_k(\sigma)\lambda_l(\tau)}\right]\\ &=\frac1{12}\big(x_1^6+3x_1^2x_2^2+4x_2^3+2x_3^2+2x_6\big) \end{aligned} CIG(x1,⋯,x6)=∣G∣∣H∣1σ∈G∑τ∈H∑[k=1∏3l=1∏2xlcm(k,l)gcd(k,l)λk(σ)λl(τ)]=121(x16+3x12x22+4x23+2x32+2x6)
所以,以 V = X ⊕ Y V=X\oplus Y V=X⊕Y作为顶点集的二部图的数目为
∣ C ‾ X ‾ / G ‾ ∣ = C I G ‾ ( 2 , ⋯ , 2 ) = 1 12 ( 2 6 + 3 ⋅ 2 4 + 2 5 + 2 3 + 2 2 ) = 13. \begin{aligned} \left|\overline{C}^{\overline{X}}/\overline{G}\right| &=\mathrm{CI}_{\overline{G}}(2,\cdots,2)\\ &=\frac1{12}(2^6+3\cdot 2^4+2^5+2^3+2^2)=13. \end{aligned} ∣∣∣∣CX/G∣∣∣∣=CIG(2,⋯,2)=121(26+3⋅24+25+23+22)=13.
由 X X X上的置换群 G G G所导出的 X ( 2 ) X^{(2)} X(2)上的置换群 G ( 2 ) G^{(2)} G(2), 称为对群或偶群。
C I S n ( 2 ) ( x 1 , ⋯ , x ( n 2 ) ) = ∑ ( λ 1 , ⋯ , λ n ) ∈ Λ n ∏ k = 1 n 1 λ k ! k λ k ∏ k = 1 n λ ( x , k ) ⋅ ∏ 1 ⩽ k < l ⩽ n x l c m ( k , l ) λ k λ l gcd ( k , l ) \mathrm{CI}_{\mathcal{S}_n^{(2)}}(x_1,\cdots,x_{\binom{n}2})=\\ \sum_{(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\in\Lambda_n}\prod_{k=1}^n\frac{1}{\lambda_k!k^{\lambda_k}}\prod_{k=1}^n\lambda(x,\,k)\,\cdot\,\prod_{1\leqslant k<l\leqslant n}x_{\mathrm{lcm}(k,\,l)}^{\lambda_k\lambda_l\gcd(k,\,l)} CISn(2)(x1,⋯,x(2n))=(λ1,⋯,λn)∈Λn∑k=1∏nλk!kλk1k=1∏nλ(x,k)⋅1⩽k<l⩽n∏xlcm(k,l)λkλlgcd(k,l)
其中
λ ( x , k ) = { x k k − 1 2 λ k + k ( λ k 2 ) , k 为奇数 x k 2 λ k x k ( k 2 − 1 ) λ k + ( λ k 2 ) , k 为偶数 \lambda(x,\,k) =\begin{cases} x_k^{\frac{k-1}2\lambda_k+k\binom{\lambda_k}2}, &k\text{为奇数}\\ x_{\frac k2}^{\lambda_k}x_k^{\left(\frac k2-1\right)\lambda_k+\binom{\lambda_k}2}, &k\text{为偶数} \end{cases} λ(x,k)=⎩⎪⎨⎪⎧xk2k−1λk+k(2λk),x2kλkxk(2k−1)λk+(2λk),k为奇数k为偶数
根据上述定理,对群 S 3 ( 2 ) \mathcal{S}_3^{(2)} S3(2)的循环指数为
C I S 3 ( 2 ) ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 1 6 ( x 1 3 + 3 x 1 x 2 + 2 x 3 ) . \mathrm{CI}_{\mathcal{S}_3^{(2)}}(x_1,x_2,x_3) =\frac16(x_1^3+3x_1x_2+2x_3). CIS3(2)(x1,x2,x3)=61(x13+3x1x2+2x3).
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