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写在前面

本文介绍Pólya定理的一些扩展，包括直和、Cartes(笛卡尔)积和2-子集上的扩展。

直和上的扩展

直和

设$X$是$p$元集，$Y$是$q$元集，且$X\bigcap Y=\varnothing$, $(G,\ast )$和$(H,\bullet )$分别是$X$和$Y$上的置换群，令$Z=X\bigcup Y\stackrel{△}{=}X\oplus Y$，称集合$Z$为集合$X$与集合$Y$的直和.对于$\forall \sigma \in G,\tau \in H$，定义集合$Z$上的置换$\sigma \oplus \tau$如下：
$$(\sigma \oplus \tau )(z)=\{\begin{array}{ll}\sigma (z),& z\in X\\ \tau (z),& z\in Y\end{array}$$
显然，$\sigma \oplus \tau$是集合$Z$上的置换。若令
G ⊕ H = { σ ⊕ τ   ∣   σ ∈ G ,   τ ∈ H } , G\oplus H=\{\sigma\oplus\tau\ |\ \sigma\in G,\ \tau\in H\}, G⊕H={ σ⊕τ ∣ σ∈G, τ∈H},
可得$G\oplus H$在通常的置换合成运算下形成$Z=X\oplus Y$上的置换群，且对$\forall \sigma \oplus \tau ,{\sigma }^{\prime }\oplus {\tau }^{\prime }\in G\oplus H$, $G\oplus H$上的置换合成运算满足
$$(\sigma \oplus \tau )\circ ({\sigma }^{\prime }\oplus {\tau }^{\prime })=(\sigma \ast {\sigma }^{\prime })\oplus (\tau \bullet {\tau }^{\prime }),$$
在此称群$(G\oplus H,\circ )$为群$G$和群$H$的直和。

直和的计数性质

• $|G\oplus H|=|G||H|$;
• $|X\oplus Y|=|X|+|Y|=p+q$.

直和的循环指数

$p+q$元集$X\oplus Y$上的置换群$G\oplus H$的循环指数为
$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{G\oplus H}(x_1,x_2,\cdots ,x_{p+q})={\mathrm{C}\mathrm{I}}_G(x_1,x_2,\cdots ,x_p)\cdot {\mathrm{C}\mathrm{I}}_H(x_1,x_2,\cdots ,x_q),$$
为不引起混淆，上式亦可表示为
$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{G\oplus H}(x_1,\cdots ,x_p,y_1,\cdots ,y_q)={\mathrm{C}\mathrm{I}}_G(x_1,x_2,\cdots ,x_p)\cdot {\mathrm{C}\mathrm{I}}_H(y_1,y_2,\cdots ,y_q).$$

证明思路

由于对$\forall \sigma \oplus \tau \in G\oplus H$，根据直和的运算，$\sigma \oplus \tau$的格式($\mathrm{t}\mathrm{y}\mathrm{p}$)为对应项的乘积，直接根据循环指数的定义，将两部分拆分为各自对应的循环指数，即可得到直和的循环指数。

例题分析

用2种颜色对正六面体的$6$个面和$8$个顶点进行染色，求染色方案数$N$, 假定正六面体的转动使之重合的方案视为同一种方案。

方法一(直和的循环指数)

由，可以得到
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}}(x_1,x_2,\cdots ,x_8)& =\frac{1}{24}\left(x_1^8+8x_1^2{x}_3^2+9x_2^4+6x_4^2\right),\\ {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{f}}}(x_1,x_2,\cdots ,x_6)& =\frac{1}{24}\left(x_1^6+3x_1^2{x}_2^2+6x_1^2{x}_4+6x_2^3+8x_3^2\right),\end{array}$$
于是由上述定理即可得到
$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}\oplus {\mathcal{G}}_{\mathbf{f}}}(x_1,x_2,\cdots ,x_{14})={\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}}(x_1,x_2,\cdots ,x_8)\cdot {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{f}}}(x_1,x_2,\cdots ,x_6),$$
最后得到方案数$N$
$$\begin{array}{rl}N& ={\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}\oplus {\mathcal{G}}_{\mathbf{f}}}(2,\cdots ,2)\\ & ={\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{v}}}(2,\cdots ,2)\cdot {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{G}}_{\mathbf{f}}}(2,\cdots ,2)\\ & =23\times 10=230\end{array}$$

方法二(将$8$个顶点和$6$个面作为整体进行研究)

此时直接分析$14$个元素作旋转置换的情况即可，共有$5$种置换，分别为

1. 单位置换，$(1{)}^{14}$;
2. 以相对的两个面的中心连线为轴旋转$\pm 90^{\circ }$有$6$个置换，$(1{)}^2(4{)}^3$;
3. 以相对的两个面的中心连线为轴旋转$180^{\circ }$有$3$个置换，$(1{)}^2(2{)}^6$;
4. 以正六面体中心对称的两个棱的中心连线为轴旋转$180^{\circ }$有$6$个置换，$(2{)}^7$;
5. 以正六面体体对角线为轴旋转$\pm 120^{\circ }$有$8$个置换，$(1{)}^2(3{)}^4$.

此时可以得到方案数$N$
$$N=\frac{1}{24}(2^{14}+6\cdot 2^5+3\cdot 2^8+6\cdot 2^7+8\cdot 2^6)=776.$$

分析

产生两种方法所得结果不一致的原因是: 方法一利用群$G\oplus H$对染色问题进行求解，而方案二直接对群$\overline{G}$进行分析求解，两群并不同构，所以导致方案数出现差异。

Cartes积上的扩展

Cartes积

仍按照上面对集合$X$和$Y$的定义，考虑集合$X$与$Y$以及$G$与$H$的Cartes积:
X × Y = { ( x ,   y )   ∣   x ∈ X ,   y ∈ Y } , G × H = { ( σ ,   τ )   ∣   σ ∈ G ,   τ ∈ H } , X\times Y=\{(x,\,y)\,|\,x\in X,\,y\in Y\}, \\ G\times H=\{(\sigma,\,\tau)\,|\,\sigma\in G,\,\tau\in H\}, X×Y={ (x,y)∣x∈X,y∈Y},G×H={ (σ,τ)∣σ∈G,τ∈H},
对于$(\sigma ,\tau )\in G\times H$，按如下方式将$(\sigma ,\tau )$定义为集合$X\times Y$到自身的一个映射：
$$(\sigma ,\tau )((x,y))=(\sigma (x),\tau (y)),\forall (x,y)\in X\times Y,$$
显然，这样定义的映射$(\sigma ,\tau )$是$X\times Y$集合上的置换。

易证$G\times H$在通常的置换合成运算"$\circ$"下形成的集合$X\times Y$上的置换群，且$G\times H$上的置换合成满足
$$({\sigma }_1,{\tau }_1)\circ ({\sigma }_2,{\tau }_2)=({\sigma }_1{\sigma }_2,{\tau }_1{\tau }_2),\forall ({\sigma }_1,{\tau }_1),({\sigma }_2,{\tau }_2)\in G\times H$$

定理

设$\sigma \in G,\tau \in H$, 如果$\sigma$的循环分解式中有${\lambda }_k(\sigma )$个长度为$k$的循环，$\tau$的循环分解式中有${\lambda }_l(\tau )$个长度为$l$的循环，则$(\sigma ,\tau )$的循环分解式中有$\gcd (k,l){\lambda }_k(\sigma ){\lambda }_l(\tau )$个长度为$\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(k,l)$的循环。

$G\times H$的循环指数

设$G$是$p$元集$X$上的置换群，$H$是$q$元集$Y$上的置换群，则$pq$元集$X\times Y$上的置换群$G\times H$的循环指数为
$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{G\times H}(x_1,\cdots ,x_{pq})=\frac{1}{|G||H|}\sum _{\sigma \in G}\sum _{\tau \in H}\left[\prod _{k=1}^p\prod _{l=1}^q{x}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(k,l)}^{\gcd (k,l){\lambda }_k(\sigma ){\lambda }_l(\tau )}\right].$$

例题

设$(V,E)$为一个二部图，其中$V=X\oplus Y,|X|=3,|Y|=2$, 试求以$V=X\oplus Y$作为顶点集的二部图的数目$N$, 假定两个同构的图视为一个图。

令 X = { 1 , 2 , 3 } ,   Y = { 4 , 5 } X=\{1,2,3\},\ Y=\{4,5\} X={ 1,2,3}, Y={ 4,5}, 并记$\overline{X}=E(K_{3,2})=X\times Y$, 则$\overline{X}$为染色对象集。取$\overline{G}=G\times H$为置换群，其循环指数为
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{C}\mathrm{I}}_{\overline{G}}(x_1,\cdots ,x_6)& =\frac{1}{|G||H|}\sum _{\sigma \in G}\sum _{\tau \in H}\left[\prod _{k=1}^3\prod _{l=1}^2{x}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(k,l)}^{\gcd (k,l){\lambda }_k(\sigma ){\lambda }_l(\tau )}\right]\\ & =\frac{1}{12}(x_1^6+3x_1^2{x}_2^2+4x_2^3+2x_3^2+2x_6)\end{array}$$
所以，以$V=X\oplus Y$作为顶点集的二部图的数目为
$$\begin{array}{rl}\left|{\overline{C}}^{\overline{X}}/\overline{G}\right|& ={\mathrm{C}\mathrm{I}}_{\overline{G}}(2,\cdots ,2)\\ & =\frac{1}{12}(2^6+3\cdot 2^4+2^5+2^3+2^2)=13.\end{array}$$

2-子集上的扩展

由$X$上的置换群$G$所导出的$X^{(2)}$上的置换群$G^{(2)}$, 称为对群或偶群。

对群${\mathcal{S}}_n^{(2)}$的循环指数

$$\begin{gathered} {\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{S}}_n^{(2)}}(x_1,\cdots ,x_{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2}\right)})= \\ \sum _{({\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n)\in {\Lambda }_n}\prod _{k=1}^n\frac{1}{{\lambda }_k!k^{{\lambda }_k}}\prod _{k=1}^n\lambda (x,k)\cdot \prod _{1⩽k<l⩽n}{x}_{\mathrm{l}\mathrm{c}\mathrm{m}(k,l)}^{{\lambda }_k{\lambda }_l\gcd (k,l)} \end{gathered}$$

其中
$$\lambda (x,k)=\{\begin{array}{ll}{x}_k^{\frac{k-1}{2}{\lambda }_k+k\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_k}{2}\right)},& k\text{为奇数}\\ x_{\frac{k}{2}}^{{\lambda }_k}{x}_k^{\left(\frac{k}{2}-1\right){\lambda }_k+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{{\lambda }_k}{2}\right)},& k\text{为偶数}\end{array}$$

根据上述定理，对群${\mathcal{S}}_3^{(2)}$的循环指数为
$${\mathrm{C}\mathrm{I}}_{{\mathcal{S}}_3^{(2)}}(x_1,x_2,x_3)=\frac{1}{6}(x_1^3+3x_1{x}_2+2x_3).$$

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